On bijections between monotone rooted trees and the comb basis

Let A be an n-element set. Let L ie2(A) be the multilinear part of the free Lie algebra on A with a pair of compatible Lie brackets, and L ie2(A, i) the subspace of L ie2(A) generated by all the monomials in L ie2(A) with i brackets of one type. The author and Dotsenko-Khoroshkin show that the dimension of L ie2(A, i) is the size of RA,i, the set of rooted trees on A with i decreasing edges. There are three families of bases known for L ie2(A, i) ∶ the comb basis, the Lyndon basis, and the Liu-Lyndon basis. Recently, González D’León and Wachs, in their study of (co)homology of the poset of weighted partitions (which has close connection to L ie2(A, i)), asked whether there are nice bijections between RA,i and the comb basis or the Lyndon basis. We give a natural definition for ”nice bijections”, and conjecture that there is a unique nice bijection betweenRA,i and the comb basis. We show the conjecture is true for the extreme cases where i = 0, n − 1. Résumé. Soit A un ensemble à n éléments. Soit L ie2(A) la partie multilinéaire de l’algèbre de Lie libre sur A avec une paire de crochets de Lie compatibles et L ie2(A, i) le sous-espace de L ie2(A) généré par tous les monômes en L ie2(A) avec i supports d’un même type. L’auteur et Dotsenko-Khoroshkin montrent que la dimension de L ie2(A, i) est la taille de la RA,i, l’ensemble des arbres enracinés sur A avec i arêtes décroissantes. Il y a trois familles de bases connues pour L ie2(A, i) : la base de peigne, la base Lyndon, et la base Liu-Lyndon. Récemment, Gonzalez, D’ Léon et Wachs, dans leur étude de (co)-homologie de la poset des partitions pondérés, ont demandé si il y a des bijections jolies entre RA,i, et la base de peigne ou la base Lyndon. Nous donnons une définition naturelle de “bijection jolie”, et un conjecture qu’il y a une seule bijection jolie entre RA,i, et la base de peigne. Nous montrons que la conjecture est vraie pour les cas extrêmes: i = 0, et n − 1.